常见概率分布的标准差计算
2024-10-21
1. 二项分布
定义
二项分布适用于相互独立的重复试验，每次试验只有成功或失败两种可能结果。设每次试验成功的概率为 ( p )，失败的概率为 ( 1 - p )，试验次数为 ( n )。
标准差公式
$$
\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}
$$
说明
- ( n ): 试验次数。
- ( p ): 成功的概率。
- ( 1 - p ): 失败的概率。
示例
假设抛掷一枚均匀硬币 ( n ) 次，计算正面朝上（成功）的次数的标准差。
- ( n = 10 )
- ( p = 0.5 )
- ( 1 - p = 0.5 )
计算：
$$
\sigma = \sqrt{10 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{2.5} \approx 1.58
$$
2. 超几何分布
定义
超几何分布描述从有限总体中进行不放回抽样的情况。总体大小为 ( N )，其中 ( K ) 个元素视为成功（例如红球），其余 ( N - K ) 个元素视为失败（例如蓝球）。抽取大小为 ( n ) 的样本，关注样本中成功元素的数量。
标准差公式
$$
\sigma = \sqrt{n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N - K}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1}}
$$
说明
- ( N ): 总体大小。
- ( K ): 成功元素的数量。
- ( n ): 样本大小。
示例
假设有 ( N = 20 ) 个球，其中 ( K = 5 ) 个是红球，其余为蓝球。不放回抽取 ( n = 4 ) 个球，样本中红球数量的标准差为：
计算：
$$
\sigma = \sqrt{4 \cdot \frac{5}{20} \cdot \frac{15}{20} \cdot \frac{16}{19}} \approx 0.87
$$
3. 正态分布
定义
正态分布是一种重要的连续概率分布，许多自然现象都近似服从正态分布。标准差用于衡量数据围绕均值的离散程度。
样本数据的标准差公式
$$ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}\ $$
说明
- : 第 i 个数据点。
- : 数据的均值。
- : 数据点的数量。
示例
假设有一组测量数据： $$ x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4, x_5 = 5 $$
均值计算：
$$
\mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3
$$
标准差计算：
$$
\sigma = \sqrt{\frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{5}} = \sqrt{2} \approx 1.41
$$
4. 泊松分布
定义
泊松分布用于描述固定时间或空间区间内事件发生的次数，其参数为 ，表示平均发生次数。
标准差公式
$$
\sigma = \sqrt{\lambda}
$$
说明
- : 平均发生次数。
示例
如果一家商店每小时平均接待的顾客数为 = 5，则顾客数量的标准差为：
$$
\sigma = \sqrt{5} \approx 2.24
$$
5. 几何分布
定义
几何分布描述首次成功之前的失败次数，其中成功概率为 ( p )。
标准差公式
$$
\sigma = \frac{\sqrt{1 - p}}{p}
$$
说明
- ( p ): 成功的概率。
示例
如果篮球投篮命中的概率为 ( p = 0.3 )，则首次命中之前尝试次数的标准差为：
$$
\sigma = \frac{\sqrt{1 - 0.3}}{0.3} \approx 2.19
$$
6. 指数分布
定义
指数分布描述事件之间的等待时间，其参数为 ，表示事件发生的速率。
标准差公式
$$
\sigma = \frac{1}{\lambda}
$$
说明
- : 事件发生的速率。
示例
如果某设备平均每小时发生故障的次数为 = 2，则两次故障之间等待时间的标准差为：
$$
\sigma = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ hours}
$$